History and Hermeneutics for Mathematics Education
Storia
ed Ermeneutica per la Didattica della Matematica
Didattica della Matematica
Articoli
principali (di G.T. Bagni)
³Bagni, G.T. (2006), Some
Cognitive Difficulties Related to the Representations of two Major Concepts of
Set Theory. Educational
Studies in Mathematics, 62, 3, 259-280 (in inglese) http://dx.doi.org/10.1007/s10649-006-8545-3
³Bagni,
G.T. (2004), Functions:
processes, properties, objects [pdf]. In: Mariotti, M.A. (Ed.), Proceedings of CERME-3, 28 February-3
March 2993,
³Bagni, G.T. (2004), Una
experiencia didáctica sobre
funciones en la escuela secundaria [pdf]. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa,
7, 1, 5-24 (in spagnolo)
³Bagni,
G.T. (2000), Simple
rules and general rules in some High School students’ mistakes [pdf]. Journal für Mathematik Didaktik,
21, 2, 124-138 (in inglese)
³Gagatsis, A.
& Bagni, G.T. (2000), Classical
vs. Vector and Cartesian Geometry in problem solving in Greece and in Italy
[pdf].
Gagatsis, A. & Al. (Eds.), Learning and assessment in Mathematics and
Science, Department of Education, University of Cyprus, Nicosia,
171-196 (in inglese)
³Bagni,
G.T. (1998), Visualization
and Didactics of Mathematics in High School: an experimental research [pdf]. Scientia
Paedagogica Experimentalis, XXXV, 1, 161-180 (in inglese)
Alcuni
articoli (di G.T. Bagni)
Registri
rappresentativi:
Continuità
e discontinuità [pdf] (
Due noti
esempi analitici ci consentono di introdurre alcune riflessioni didattiche
sulle funzioni continue, con riferimento ai programmi di matematica della
scuola secondaria superiore
Dimostrare
e convincere [pdf] (
La dimostrazione è spesso
considerate il momento principale del fare matematica, anche dal punto di vista
didattico. Pur senza voler trascurare l’importanza primaria della
dimostrazione, l’articolo ricorda che le dimostrazioni stesse sono solo una
parte del lavoro del matematico. Infatti c’è una fase pre-dimostrativa, di
grande importanza, spesso lasciata all’intuizione. Tali idee hanno
ripercussioni sulla concezione e sul ruolo della dimostrazione, come è
evidenziato mediante esperienze effettuate in alcune scuole secondarie
superiori
Learning, problem solving, representative registers
[pdf] (
Si analizza il comportamento di alcuni
allievi della scuola secondaria superiore (17-19 anni) con riferimento ad
alcuni esercizi di Trigonometria e di Geometria analitica; una ricerca
sperimentale ha considerato 196 studenti. In particolare, per quanto riguarda
le strategie e le implicazioni didattiche, concludiamo che molti allievi
cercano di risolvere un problema soltanto nel settore esplicitamente
considerato: e spesso ciò è un notevole ostacolo per il raggiungimento di buoni
risultati e per lo sviluppo della capacità di coordinare diversi registri
rappresentativi
Una
riflessione sulla visualizzazione [pdf] (2002, SFIDA-
Alcune ricerche sperimentali con
allievi di 16-19 anni ci portano ad affermare che identificare una funzione con il suo diagramma cartesiano può essere causa
di malintesi: limitare la didattica della matematica alla produzione di
rappresentazioni semiotiche porterebbe alla forzatura di alcuni aspetti del
concetto astratto a scapito di altri
Apprendimento
del concetto di funzione [pdf] (2002,
SFIDA-
Nel passaggio dalla considerazione
di un processo alla costruzione di un oggetto generale, dunque di reificazione,
l’insegnante è un protagonista dell’istituzionalizzazione: con particolare
riferimento al concetto di funzione è necessario operare con esempi
significativi, suggerire controesempi e gestire attentamente i riferimenti alle
rappresentazioni semiotiche
Didattica
dell’Analisi matematica:
Euclid’s
proof and Eratosthenes’ sieve [pdf]
(
L’idea di infinito nella didattica
della matematica viene esaminata con riferimento alla scuola superiore italiana
(allievi di 16-19 anni). Una breve introduzione storica ricorda la
contrapposizione dell’infinito potenziale e attuale. Quindi lo statuto di
alcuni concetti legati all’infinito viene studiato mediante due test, riferiti
alla dimostrazione euclidea dell’infinità dei primi e al crivello di
Eratostene. Concludiamo che l’infinito è ordinariamente introdotto in termini
potenziali e che il tradizionale studio dell’analisi matematica nella scuola
secondaria superiore non consente il pieno sviluppo della nozione di infinito
attuale
L’infinitesimo e lo studio dell’analisi
[pdf] (
Viene esaminata l’idea di
infinitesimo nell’apprendimento della matematica, con riferimento alla scuola
superiore italiana (allievi di 16-19 anni). Un’introduzione storica ricorda
Aristotele, Leibniz, d’Alembert, Euler e la contrapposizione tra infinitesimo
potenziale e attuale. Quindi lo statuto di alcuni concetti viene studiato
mediante due test, prima e dopo lo studio dell’analisi matematica. Concludiamo
che i metodi infinitesimali sono ordinariamente considerati e introdotti nel
senso dell’infinitesimo potenziale
Interpretazione categoriale
di una misconcezione [pdf] (
Nel presente lavoro viene
descritta un’importante misconcezione sugli insiemi infiniti con riferimento
alle categorie. Inoltre le concezioni operazionali e strutturali della
matematica possono essere messe in relazione con l’approccio categoriale
Limite
e visualizzazione [pdf] (
Viene esaminato il concetto di
limite nell’apprendimento della matematica con riferimento alla scuola
secondaria superiore italiana (allievi di 18-19 anni). Lo statuto di tale
concetto viene studiato mediante due test, particolarmente riferiti alla
visualizzazione. Concludiamo che le rappresentazioni visuali di alcuni metodi
infinitesimali sono tacitamente considerate nel senso dell’infinitesimo
potenziale e non nel senso dell’infinitesimo attuale; un uso improprio dei
metodi visuali può risultare controproducente rispetto al corretto apprendimento
del concetto di limite
Integral and measure [pdf] (
Lo statuto dei concetti di
continuità dell’insieme dei numeri reali e dell’idea di integrale viene
studiato mediante due test, con riferimento alla scuola superiore italiana.
Concludiamo che lo studio tradizionale dell’analisi matematica, nella scuola
superiore, talvolta non consente il pieno apprendimento dei concetti di
continuità dell’insieme dei numeri reali e di integrale
Insiemi
infiniti di numeri reali [pdf] (
Nella prima parte del presente
lavoro, si analizza l’idea di continuità dell’insieme dei numeri reali, con
riferimento alla scuola secondaria superiore italiana (allievi di 16-19 anni).
Lo statuto di tale concetto è studiato mediante due test, prima e dopo
l’introduzione dei principali concetti dell’analisi matematica. Nella seconda
parte del lavoro, si approfondisce l’idea di integrale con riferimento
all’apprendimento degli allievi della scuola secondaria superiore (18-19 anni).
Lo statuto di tela econetto è studiato mediante due test che coinvolgono la
funzione di Dirichlet gli integrali di Riemann e di Lebesgue e la misura di
Peano-Jordan
Didattica
della Probabilità:
A
paradox of Probability [pdf] (
Un punto di vista informale può
essere importante e interessante per introdurre il concetto di Probabilità. Il presente
lavoro descrive una ricerca sperimentale dedicate al primo approccio alla
Probabilità in cui abbiamo presentato a studenti di 16-17 anni un breve test
basato su di un noto paradosso. La maggior parte degli allievi ha fatto
intuitivamente riferimento alla definizione di Laplace, commettendo però spesso
alcuni errori anche causati da elementi affettivi
Zara game and teaching of Probability [pdf] (
Il presenta lavoro è dedicato ad un
primo approccio alla Probabilità da un punto di vista informale. Abbiamo
presentato a studenti di 17-18 aanni un’attività basata su di una versione
semplificata di un antico gioco denominato Zara (citato da Dante Alighieri in Purgatorio, VI, 1-3, e da Galileo
Galilei). Molti studenti hanno adottato il primo e il secondo principio di
Laplace, pur senza conoscerli; seguendo idealmente le idee di Laplace, alcuni
studenti hanno commesso errori neui casi non simmetrici. Nella ricerca l’uso di
esempi storici, combinato con l’attività collegata alla vita quotidiana, ha
consentito un efficace introduzione al concetto di Probabilità
Statistics and Measuring [pdf] (
Misurare è un’attività molto
commune, propria dell’esperienza quotidiana degli allievi. Abbiamo considerato
l’importanza di un punto di vista informale che può essere efficace per
introdurre alcuni concetti fondamentali della Statistica. Nel presente lavoro
abbiamo descritto una ricerca sperimentale che ha coinvolto allievi di 17-18
anni con un breve test basato su di una comune attività di misurazione. La
maggior parte degli allievi ha mostrato di incontrare difficoltà
nell’interpretazione del ruolo della deviazione standard
Contratto
didattico ed elementi affettivi:
Irrational inequalities: learning, contract [pdf] (
Disequazioni
irrazionali: apprendimento, contratto [pdf] (
Abbiamo esaminato mediante un test
l’apprendimentio di un importante “capitolo” del programma di matematica della
scuola secondaria superiore (in particolare con riferimento ad allievi di 16-17
anni). Molti studenti sono condizionati dal contratto didattico ed applicano
sempre le regole “standard” fornite dall’insegnante, e tale comportamento può
risultare dannoso: le risoluzioni vengono ad essere meccaniche, non creative e
talvolta sono più complicate
Trigonometric functions: learning, contract [pdf] (
Nel presente lavoro abbiamo
esaminato l’influenza del contratto didattico sul comportamento degli studenti
della scuola secondaria superiore (Liceo
scientifico, allievi di 16-19 anni) con riferimento all’introduzione delle
funzioni trigonometriche
Esercizi
standard e contratto didattico [pdf]
(
L’articolo è dedicato alle nozioni
di numero immaginario e di dominio di una funzione con riferimento alla scuola
secondaria superiore italiana (allievi di 16-19 anni); lo statuto di tali
concetti viene studiato mediante un test. Concludiamo che molti studenti
presentano insicurezze rispetto al tradizionale esercizio che chiede di
“trovare il dominio” di un’assegnata funzione reale
Gli
immaginari nella pratica didattica [pdf] (
L’idea di numero immaginario
nell’apprendimento della matematica è importante e merita una dettagliata
analisi, anche dal punto di vista storico. Con riferimento alla scuola
secondaria superiore italiana (allievi di 16-18 anni), abbiamo esaminato alcuni
aspetti della situazione mediante un test. Si conclude che molti allievi
accettano la presenza di quantità immaginarie quando esse appaiono nel corso
della risoluzione di un’equazione, ma la rifiutano nel caso del risultato
finale di un esercizio
Influence of text’s mental images upon resolutions [pdf] (
Con riferimento all’approccio
degli allievi al problem solving, molti Autori hanno affermato che gli allievi,
nell’affrontare un problema assegnato, si creano un modello mentale della
situazione proposta; ma un recente lavoro ha dimostrato che la possibilità di
immaginare pienamente e dettagliatamente una situazione non è di aiuto agli
allievi. In questo articolo (che considera allievi di 13-16 anni), mostriamo
che, talvolta, la possibilità menzionata può addirittura costituire un ostacolo
per l’accettazione della correttezza di un risultato
Puntini...
[pdf] (
Alcune
riflessioni riguardanti il rigore formale sono basate sui risultati di un test
proposto a due gruppi di allievi della scuola secondaria superiore e di
studenti universitari
“Impossible” problems in students’ behaviour [pdf] (
Il comportamento di alcuni allievi
della scuola secondaria superiore viene esaminato con riferimento ad alcuni
problemi “impossibili” (in particolare abbiamo considerato studenti di 17-19
anni). Concludiamo che alcuni casi di “impossibilità” vengono impropriamente
“estesi” ad esercizi simili: l’influenza dei contratti didattico e sperimentale
sul comportamento degli allievi è notevole
Che cos’è? [pdf] (
Nel presente lavoro sono studiati
alcuni modelli spontaneamente associati alle idee di retta e di circonferenza
da alcuni allievi della scuola secondaria italiana (16-18 anni) e da alcuni
studenti universitari. Alcuni test evidenziano l’influenza notevole del
contratto didattico sugli argomenti considerati
Altri
articoli di Didattica della Matematica:
L’opera
di G. Pick: un’esperienza didattica [pdf] (
G. Pick’s work: an educational experience [pdf] (
Nel presente lavoro viene
esaminato l’articolo originalee (Praga, 1899) di Georg Pick dedicato ad alcune
questioni di geometria reticolare. L’importanza didattica dell’argomento, con
riferimento alla scuola superiore (abbiamo considerato una classe di un Liceo
scientifico italiano, allievi di 17 anni), è stata studiata mediante un test
Alice
e lo Stregatto colorano il piano [pdf]
(
L’articolo propone alcune
considerazioni elementari sul minimo numero di colori che servono per colorare
il piano R2 in modo che
ogni coppia di punti distanti 1 sia associata a due diversi colori. Si tratta
di un problema aperto (2003)
Logica e linguaggio nella
pratica didattica [pdf] (2003,
SFIDA-
Si considera un problema collegato
all’uso dei quantificatori nella scuola secondaria superiore (studenti di 18-19
anni), in particolare riferito ai quantificatori esistenziali, e si esamina un
case study basato su di un esempio analitico. Concludiamo che molti studenti
incontrano ostacoli con alcuni concetti logici, in particolare quando le
proposizioni considerate sono espresse in un linguaggio formale. I simboli e il
linguaggio sono collegati ad una dimensione socio-culturale ampia e la presenza
della logica di base nella scuola secondaria superiore deve essere considerata
un elemento importante del curriculum
Materiali
didattici (di
Calcolo
combinatorio 1 (scuola secondaria
inferiore)
Calcolo
combinatorio 2 (scuola secondaria
superiore)
Probabilità (scuola secondaria inferiore)
Statistica
1 (scuola secondaria inferiore)
Statistica
2 (scuola secondaria superiore)
Successioni (scuola secondaria superiore)
Laboratorio
di Geometria 1 (scuola
secondaria inferiore)
Laboratorio
di Geometria 2 (scuola secondaria
superiore)
Laboratorio
di Geometria 3 (scuola secondaria
superiore)
Appunti
di Didattica della Matematica
(a cura di G.T. Bagni, in italiano, files pdf)
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di Didattica della Matematica
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