History and Hermeneutics for Mathematics
Education
Storia
ed Ermeneutica per la Didattica della Matematica
A work by Franceschinis (1787)
Un’opera di Franceschinis (1787)
Franceschinis, F.M. (1787), Opuscoli
matematici, Remondini, Bassano
Nella memoria De’ logaritmi de’ numeri negativi,
inclusa in Opuscoli matematici,
“I logaritmi
[...] altro non sono, che i termini di una qualunque progressione aritmetica
corrispondenti per ordine ai termini di una qualunque progressione geometrica
[...] Secondo questa idea le due serie sono tra loro indipendenti, onde la
stessa progressione aritmetica potrà dare allo stesso tempo la serie de’
logaritmi per i termini d’infinite progressioni geometriche diverse: così ogni
quantità potrà avere infiniti logaritmi [...] e viceversa ogni quantità potrà
essere logaritmo d’infinite quantità diverse” (Opuscoli matematici, p.
12).
Subito, però,
Franceschinis nota che la questione posta in termini così generali necessita di
una qualche precisazione (“Ma di qual utilità sarebbero i logaritmi, se si
prendessero in quella loro generalità?” p. 13), e nota: “È dunque necessario
che le due progressioni sieno in qualche modo tra loro dipendenti, e perciò
sieno determinate” (p. 14). Per precisare questa “dipendenza” è necessario
fissare due coppie di termini corrispondenti nelle successioni introdotte: in
questo modo, suggerisce lo stesso Autore, risulteranno subito determinati “la
ragione, e la differenza, e perciò tutti gli altri termini della geometrica, e
dell’aritmetica progressione” (p. 14). Si fissano, innanzitutto,
rispettivamente in 1 ed in 0 i primi termini delle due successioni, ovvero si
suppone (per ogni valore accettabile della base): log1 = 0.
Dopo aver
ricordato le proprietà dei logaritmi (“i quattro Teoremi, che tutto l’utile ne
fanno”, p. 16), nota l’Autore:
“Ora perché
possiamo godere del vantaggio, che nel calcolo ne presentano i logaritmi, cioè
onde per essi risalire possiamo alle quantità, è necessario, che tutti sieno
presi in uno stesso sistema” (Opuscoli matematici, p. 17).
E da qui egli
immediatamente passa alla questione ritenuta centrale per quanto riguarda il
problema dei logaritmi dei numeri negativi:
“Fissato il
rapporto dei due primi termini delle due serie in modo, che tutti i numeri
positivi abbiano il loro logaritmo, i numeri negativi il potranno pure avere
nel medesimo sistema?” (Opuscoli matematici, p. 17).
La sentenza di
Franceschinis è drastica: “dalla genuina, e prima idea de’ Logaritmi deducesi
evidentemente non darsi i logaritmi de’ numeri negativi” (p. 19). Ecco la
motivazione addotta:
“Perché nel
sistema medesimo, che i logaritmi inchiude di tutti i numeri positivi, quelli
pure si avessero de’ numeri negativi, sarebbe primieramente necessario il poter
fingere una progressione geometrica, in cui essendo compresi [...] i numeri
positivi possibili potessere pure essere compresi... i negativi. Ma questo è
impossibile” (Opuscoli matematici, pp. 19-20).
L’Autore
giustifica questa affermazione ricordando che una progressione geometrica di
base h e ragione j (con h positivo e
diverso da 1 e j intero) non può
assumere valori non positivi. “Dove dunque saranno i logaritmi de’ numeri
negativi?” si chiede l’Autore (p. 21); e subito introduce una tesi proposta,
tra gli altri, da d’Alembert:
“Non v’è altro
ripiego, che asserire, che il medesimo logaritmo corrisponde al medesimo
numero, sia positivo, che negativo. Ciò diffatti procura di persuadere
d’Alembert dicendo [...] che la progressione negativa è il complemento della
positiva, poiché esse riunite ne danno tutte le medie proporzionali possibili”
(Opuscoli matematici, p. 21).
L’affermazione
alla quale l’Autore si riferisce merita attenzione e può essere illustrata
attraverso un semplice esempio: sappiamo, infatti, che la “media proporzionale”
tra 1 e 4 è 2; la tesi di d’Alembert porterebbe ad affermare che anche il
valore -2 gode della stessa proprietà rispetto a 1 ed a
“In una
progressione geometrica ciascun termine non ha la sola relazione di essere
media proporzionale, lo che a tutti conviene fuori che al primo, e all’ultimo,
ma quello altresì di essere estremo, e terza proporzionale, lo che a tutti
conviene” (Opuscoli matematici, p. 21).
Riprendendo
l’esempio precedente, infatti, sia +2 che -2 possono essere considerati alla
stregua di “media proporzionale” tra 1 e 4, ma soltanto il valore positivo, +2,
può essere considerato “estremo” con 4 ed 8 nella proporzione: 2 : 4 = 4 : 8 .
“Essere cioè
2log1 = 2log(-1), e provarsi dall’essere 1 : (-1) = (-1) : 1, onde ne nasce
(-1)(-1) = (+1)(+1) e 2log1 = 2·log(-1) (del qual argomento sembrano trionfare
i Bernoulliani) trovasi, esaminato a fondo essere insussistente” (Opuscoli
matematici, p. 25).
La ragione di
questa opposizione è così spiegata: “poiché da questo, che sia (-1)(-1) =
(+1)(+1) non si può dedurre, che sia 2log1 = 2log(-1) quando pure non deducasi
essere -1 = 1, lo che niun buon Matematico mai vorrà” (p. 25); l’Autore nota
infatti che “siccome [...] nel passaggio delle potenze alle radici conviene usare
di molta cautela, questa pure sarà necessaria passando dai logaritmi delle
potenze a quelli delle radici” (pp. 26-27).
In sostanza,
Franceschinis sottolinea che per estrarre la radice quadrata di entrambi i
membri dell’uguaglianza (-1)(-1) = (+1)(+1) siamo tenuti ad imporre opportune
condizioni (“usare di molta cautela”) per evitare evidenti assurdità quali +1 =
-1. Ed analoghe precauzioni sono necessarie nell’estrazione del logaritmo
nell’esempio sopra riportato “perché l’equazione sussista” (p. 27).
La trattazione
di Franceschinis prosegue con l’esame della questione della curva logaritmica:
sempre in contrasto con d’Alembert, Franceschinis nega che il grafico
cartesiano dell’equazione y = logx possa essere costituita da due rami
simmetrici rispetto all’asse delle ordinate; ciò è indicato dal grande
pensatore francese e da molti altri sostenitori della realtà dei logaritmi dei
numeri negativi, tra i quali gli stessi Riccati. Così replica Franceschinis:
“Come può egli
[il riferimento è a d’Alembert] poi proporre il problema della costruzione
della logaritmica in modo, che resti esclusa l’idea della progressione
geometrica, se questa ne forma la essenza? [...] nella quale progressione
geometrica è impossibile il passaggio dal 0 al negativo” (Opuscoli matematici,
pp. 31-32).
Anche altri
argomenti sostengono l’opinione dei matematici schierati per la realtà dei
logaritmi dei numeri negativi; Franceschinis li presenta e si appresta a
confutarli:
“Dalla
equazione dx/x=dy crede Bernoulli, e
d’Alembert dedursi invincibilmente, darsi i logaritmi de’ numeri negativi, ed
essere essi eguali ai logaritmi de’ numeri positivi, poiché, dicon essi,
l’equazione dx/x = -dx/(-x) = dy,
onde sarà y = logx = log(-x)” (Opuscoli
matematici, p. 37).
Franceschinis non
ritiene però decisivo questo argomento e, dopo aver premesso che “l’equazione
differenziale non ne dà mai espressamente la natura, e l’andamento della curva,
ma solo ne esprime la relazione degli elementi delle coordinate”, sottolinea:
“perché il doppio segno delle semiordinate indichi un doppio ramo di curva, è
necessario, che questo doppio segno siavi necessariamente inchiuso, né basta,
che si possa l’uno per l’altro prendere salvando l’equazione” (p. 37).
Per
giustificare la propria opinione, l’Autore indica quale controesempio
l’equazione differenziale:
2dy/y
= -dx/x
“Se suppongo
mutato il segno alla x, l’equazione
differenziale non si muta, perché -dx/x = dx/(-x) [...] dunque la curva ha un ramo, che
corrisponde alle x negative?” (p.
38). E subito risponde l’Autore integrando l’equazione proposta ed ottenendo
una funzione in cui, “posta x
negativa, y diventa immaginaria.
Dunque la curva non può avere un ramo corrispondente ad x negativa” (pag. 38). La conclusione è decisa: “Così non dovrò
poter argomentare un ramo negativo della logaritmica dal trovare, che mutando
il segno all’ordinata non si muta l’equazione differenziale della logaritmica”
(p. 38).
Prima di
abbandonare la questione della curva logaritmica, Franceschinis non risparmia
un’ulteriore critica alle argomentazioni bernoulliane:
“Di più il
raziocinio del Bernoulli parmi che supponga in certo modo quello che è in
questione. Diffatti come può egli conchiudere essere log.x = log.(-x) dall’essere dx/x
= -dx/(-x), se non suppone -dx/(-x) essere il differenziale del logaritmo
di -x, e perciò darsi tale logaritmo,
ed essere reale, giacché reale è sicuramente il suo differenziale?” (Opuscoli
matematici, pp. 38-39).
La trattazione
prosegue con l’esame di un’altra questione collegata ad altre annotazioni di
d’Alembert. Questi, riferendosi all’equazione esponenziale, sottolinea che “ci
possono essere infiniti valori di x,
che ne diano un doppio valore di y”
(p. 43); ad esempio, risulta: (+2)2 = (-2)2 = 4 e (+2)4
= (-2)4 = 16 etc. La risposta di Franceschinis è la seguente:
“Io credo, che
l’equazione [...] non dia pel ramo negativo, che dei punti conjugati, e
sconnessi, e non continuati, talmente che vi sono infiniti punti dell’asse, a
cui non corrisponde ordinata negativa [...] onde l’equazione non è generale, e
non si adatta a tutti i punti dell’asse, e perciò il ramo negativo della curva
non può essere composto di punti uniti, ma solo di punti divisi” (Opuscoli
matematici, pp. 43-44).
See moreover:
Si veda inoltre:
Euler, L. (1787) Institutiones Calculi Differentialis cum
eius usu in Analysi Finitorum ac Doctrina Serierum, I, II, Galeati, Pavia
(II ed.; I ed.: 1755).
Euler,
L. (1796), Introduction
a l’Analyse Infinitésimale, I, II, Barrois, Paris (I ed. in French).
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(Giorgio T. Bagni, Editor)
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