History and Hermeneutics for Mathematics Education

Storia ed Ermeneutica per la Didattica della Matematica

 

 

 

Opera Omnia by Wolf (1743)

L’Opera Omnia di Wolf (1743)


 

 

Wolf, C. (1743), Elementa Matheseos Universae, I, II, III, IV, V, Gosse, Genevae

 

WOLF Christian (1678-1754)

 

Conspectus Elementorum Matheseos Universae.

 

Tomus I.        De Methodo mathematica brevis commentatio (pp. 1-14).

                       Elementa Arithmeticae (pp. 15-94).

                       Elementa Geometriae (pp. 95-210).

                       Elementa Trigonometriae planae (pp. 211-232).

                       Elementa Analyseos finitorum (pp. 233-416).

                       Elementa Analyseos infinitorum (pp. 417-518).

 

Tomus II.      Elementa Mechanicae & Staticae (pp. 1-252).

                       Elementa Hydrostaticae (pp. 253-278).

                       Elementa Aërometriae (pp. 279-330).

                       Elementa Hydraulicae (pp. 331-396).

 

Tomus III.     Elementa Opticae (pp. 1-76).

                       Elementa Perspectivae (pp. 77-102).

                       Elementa Catoptricae (pp. 103-170).

                       Elementa Dioptricae (pp. 171-290).

                       Elementa Sphaericorum & Trigonometriae Sphericae (pp. 291-340).

                       Elementa Astronomiae (pp. 341-581).

 

Tomus IV.     Elementa Geographiae & Hydrographiae (pp. 1-84).

                       Elementa Chronologiae (pp. 85-150).

                       Elementa Gnomonicae (pp. 151-196).

                       Elementa Pyrotechnicae (pp. 197-236).

                       Elementa Architecturae militaris (pp. 237-286).

                       Elementa Architecturae civilis (pp. 287-374).

 

Tomus V.      De praecipuis scriptis mathematicis brevis Commentatio (pp. 1-128).

                       Commentatio de studio mathematico recte instituendo (pp. 129-408).

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Praefatio.

 

Qui Mathesi addicendae operam navant, non eundem sibi scopum praefigunt. Elementa nostra Matheseos universae ita coscripsimus, ut pro multiplici discentium scopo satisfaciant omnibus. Quoniam vero non omnes eadem industria eidem incumbere tenentur, nec omnia addicenda omnibus; igitur nobis propositum est docere, quid unicuique conveniat. Multum omnino interest, ut studium Matheseos rite tractetur, siquidem sine molestia ac temporis dispendio feliciter progredi volueris. Quamobrem nostrum esse duximus, monstrare viam, qua sit eundum, ne ac devia declinemus; id quod facillime accidit. Eam igitur, quam in nos suscepimus, de studio mathematico rite instituendo tractationem utilitate sua non destitutum iri confidimus. Quamobrem suademus, ut omni attentione eandem legat & relegat, qui Matheseos addicendae animo ad Elementa nostra legenda accedit. Quodsi quis studiose observet, quae praecipimus, eum participem futurum fructus, quem eidem pollicemur, nulli dubitamus. Insignem vero percipiet voluptatem, ubi sesnerit voto respondere eventum: quem ubi praevidet, eo ipso accendetur ardor majore industria Matheseos studium continuandi, quam qua idem inchoavit. Nostrum inprimis est amplificare Matheseos studium, nunquam satis commendandum, nunquam pro dignitate depraedicandum. Nihil igitur omittendum, quod huc quomodocunque facit. Alienam felicitatem qui nostram existimamus, id unice intendimus, ut dicamus, ut scribamus, quae prosunt aliis. Quamobrem nec quicquam magis in votis habemus, quae ut omnes, qui ad Mathesin addiscendam animum appellunt, participes fiant ejus frucrus, qui ex studio mathematico percipi potest.

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput I. De diversis cognitionis gradibus & quomodo iidem acquirantur.

 

§ 1. Tres dantur gradus cognitionis humanae in omni veritatis genere, quos recto facultatum cognoscendi usu acquirere licet. Aut enim in eo acquiescimus, quod veritatem ab aliis propositam intelligamus; aut ulterius progressi id agimus, ut eiusdem etiam convincamur; aut denique operam damus, ut ex iis, quae cognovimus, alia adhuc nobis incognita proprio marte eruere valeamus.

§ 2. Primus gradus acquisitu omnium facillimus & a ceteris praesupponitur: nequ enim veritatis, nisi intellectae, convincitur animus; sive eum a priori, sive a posteriori convincere volueris; multo minus autem ex iis, quae cognovisti, alia incognita deducere potueris, nisi ea, quae cognovisti, satis intellexeris. Gradus secundus difficilius comparatur primo, cum multo ampliorem requirat facultatum usum; nec ad tertium adspirandum, nisi ubi ad secundum ascenderis. Tertium denique omnium difficillime consequi licet, cum amplissimum omnium exigat facultatum usum. Qui in Logica & Psychologia satis fuerint versati veritatem dictorum abunde perspicient: ceteris satisfaciet experientia domestica, ubi diversis hisce gradibus acquirendis non sine successu operam dederint. Eluscet quoque quodammodo veritas ex iis, quae mox de illis uberius dicentur.

§ 3. Cognitionem gradus primi acquisturus, definitiones, theoremata & problematum resolutiones sibi perspecta reddere tenetur, omissis demonstrationibus. Cognitionis secundi gradus compos futurus addere debet demonstrationes. Ad cognitionem tandem tertii gradus perventurus, in rem praesentem veniat necesse est, & ex iis, quae ipsi cognita & perspecta sunt, acquisito cum secundo gradu facultatum usu, eruere studeat opus est sibi nondum nota: quod quomodo fiat, posthac indigitabimus, quantum praesentis instituti ratio permittit. Neque enim nobis jam propositum est explicare Artem inveniendi, quae legitimum facultatum usum in eliciendis incognitis ex cognitis distincte docet.

§ 4. Theoremata & problemata eorumque resolutiones non intelliguntur nisi per definitiones terminorum, qui in iisdem occurrunt. Incipiendum igitur est a definitionibus, quae ideo propositionibus praemittuntur; vel omnes simul quemadmodum in Arithmetica & Geometria fecimus; vel eo saltem loco, ubi occurrunt propositiones, quae per eas intelligendae, quemadmodum in reliquis Matheseos partibus non sine ratione factum esse apparet.

§ 5. Ad definitiones intelligendas afferenda est attentio, sub initium praesertim molesta, adeoque omni modo excitanda & fovenda. Conducit huc, si definitiones exemplis, veluti in Arithmetica numeris, illustrentur, &, in Geometria, ad figuram oculis praesentem applicentur. Ita enim facilius intelliguntur; ut molestia vanescat, quae attentionis conservandae difficultatem parit. Ita definitio similitudinis illustratur exemplis duorum horologium, & duorum aedificiorum, quae in scholio definitionis adjecto in medium attulimus. Definitionem partis aliquotae illustramus exemplo lineae in quatuor parte aequales divisae, cum enim pars una quater sumta lineam integram adaequet, erit ea pars aliquota. Ita, in ipsa Arithmetica, definitionem numeri quadrati & radicis quadratae numeris adjectis illustravimus, ut tali exemplo non sit opus. Cum definitiones in Geometria retulerimus ad figuras; me tacente apparet, quomodo ad eas applicari possint, veluti dicendo in definitione trianguli aequilateri quod sit AB=BC=CA; perinde ac si ratiocinio ostendi deberet, figuram, quae oculis subjicitur, esse triangulum aequicrurum. Sensum nimirum, aut imaginatio, quae sensu antea percepta denuo praeferentia sistit, attentionem in objectum trahit, cuius idea exhibet, quae in definitione continentur; quo ipso & attentio excitatur & conservatur: cumque definitionem a nobis intelligi nobis jam conscii simus, molestia evanescit, quam termini non satis intellecti primum nobis objiciebant, immo in voluptatem abit, quae ardorem dicendi accendit & inflammat, prout casus tulerit.

§ 6. Definitiones eo ordine collocantur, ut termini in anterioribus jam fuerit definiti, qui datam ingrediuntur. Ex. gr. Commensurabilia definiuntur, quod partem aliquotam communem habent, vel eorum unum fit pars aliquota alterius. Pars vero aliquota jam fuit definita, immo pars in genere. Similiter Quadratum definitur per figuram quadrilateram, aequilateram, rectangulam. Sed figura jam ante, figura quadrilatera, figura aequilatera, figura rectangula fuit definita. Unde consequitur, definitiones legendas esse eo ordine, quo in singulis disciplinis numerantur, & definitiones terminorum esse repetendas, qui datam ingrediuntur. Ita nimirum obtinetur, ut quaelibet earum penitus intelligatur, & animo ingenerentur notiones adaequatae, in quibus nihil latet obscuri, ut intellectus plena luce perfruatur. Ex. gr. ubi definitionem commensurabilium expendere volueris, illustranda primum est exemplis, utrumque ejus casum repraesentando in numeris atque lineis. Ad exempla tam arithmetica, quam geometrica applicanda est definitio; ita ut primum contentus sis notionibus confusis, quas conspectus numerorum & figurarum suggerit. Deinde applicandae ad eadem exempla sunt definitiones partis & partis aliquotae; ita enim futurum, ut definitionem commensurabilium in utroque quantitatum genere penitus intelligas, nec quicquam relinquatur obscuri, ubi eadem industria in definitionibus anterioribus fuerit versatus. (...)

§ 10. Non ignoro in figuris non requiri veritatem, sed sufficere ea sumi, quae per definitionem inesse debent, ut definitio intelligatur. (...)

§ 20. Veteres Geometrae propositionem ab expositione, tanquam duo diversa, a se invicem distinxerunt; atque adeo illam pure enunciarunt, hanc eidem subjecerunt. Hunc morem secutus est Clavius in Elementis Euclidis. Nos expositionem cum propositione conjunximus, non tam quod in unum confundi velimus, quae diversa dunt; quam ut, brevitatis gratia, quemadmodum jam monuimus, una exhiberemus, quae a lectore separanda sunt; ne in nimiam molem excresceret opus, ac praeter necessitatem evaderet sumtuosius.

§ 21. Necesse autem est propositionem pure enunciari, remotis iis, quae ad expositionem spectant; cum pure enunciata in usum futurum memoriae sit mandanda; expositio autem adhibenda, ut claritas affundatur notioni complexae, quae propositioni respondet, sine qua intelligi nequit, aut saltem non satis intelligitur; quemadmodum nil videmus absque lumine, aut absque lumine sufficiente non satis clare videmus visibile. Non tamen opus est expositionem una memoriae mandari, cum in applicatione, ratiocinando facta, ejus nullam habeamus rationem; sed sufficiat propositioni per expositionem satis intellectae adhaerere, per naturam animae, sensum claritatis, quatenus fieri potest, ut expositionem addamus, quando exigitur, vel e re esse videtur; qua actu affunditur claritas, cujus, dum nunc obscure percipitur, antea clare perceptae memoriam habemus.

§ 22. Resolutiones problematum arithmeticae ad exempla, geometricae ad figuram constructiones statim sunt transferendae. Singula, quae fieri praecipuintur, suis numeris distinximus. Numerantur autem eo ordine singula, quo fieri debent. Quamobrem, cum quaelibet resolutio tot contineat regulas, quot sunt numeri; lecta prima statim faciendum, quod eadem praecipitur, & progressus ordine fieri debet ad sequentes. Ita nimirum absque ullo negotio facies, quod fuerat faciendum; & dum hoc facis, regulis affundetur claritas, quae ad totam resolutionem intelligendam sufficit. (...)

§ 23. Quoniam vero non sufficit problematum resolutiones intelligere, verum etiam habitus comparandus est ea faciendi, quae fieri debent; habitus autem omnis, nonnisi exercitio, adeoque idem iterato agendo, comparatur; a problemate uno non progrediendum ad alterum, nisi ubi ea, quae in resolutione praecipiuntur, prompte facere potueris. Hoc enim facto, nullam senties in difficilioribus difficultatem; nec venendum est, ne molestia fastidium creet; nec progressus destituetur voluptate individua comite, quae ardorem continuo progrediendi ulterius accendit, alit & auget. Merentur ea, quae hic dicuntur, attentionem; hoc enim modo acquiruntur singulares animi dotes, ad praeclara nitenti mirifice profuturae. Sed de his dicemus nonnulla in sequentibus. (...)

§ 33. Absit autem, ut tibi persuadeas, demonstrationes hasce mechanicas in locum ceterarum surrogari posse, quas scientificas appellare libet in oppositione ad mechanicas. Etenim quod per mechanicas patet, nonnisi verum esse intelligitur de figura, quam descripsisti & prae manibus habes; adeoque theorematis veritas perspicitur nonnisi in casu singulari. Enimvero demonstratio, ex hypothesi theorematis ratiocinando, veritatem theorematis manifestat universaliter. (...)

§ 34. Demonstrationes mechanicae aequipollent exemplis numericis, quae veritatem theorematum & problematum in casu singulari perspiciendam praebent. Atque adeo facile patet, quid fieri debeat, si simile quid circa theoremata arithmetica tentes. (...)

§ 36. Demonstrationes ita mechanicae satisfaciunt iis, qui in primo cognitionis gradu acquiescunt. Faciunt enim ad perspiciendum veritatem in singulari. (...)

§ 37. Demonstrationes continua ratiocinatione absolvuntur, & ex assumtis procedunt. Assumta continentur in hypothesi, quae singula demonstrationem ingredi debent. Ab his igitur exordiendum; redigendo in propositiones assumta, & ex anterioribus sumendo principia, quae vel in definitionum, vel axiomatum, & postulatorum, vel propositionum jam demonstratarum numero sunt, terminum communem cum istis habentia, qui ipse principium istud veluti sponte sua in memoriam revocat, ubi anteriora eidem firmiter infixa tenueris. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput II. De Modo instituendi studium Matheseos intellectus perficiendi causa.

 

§ 90. Non omnes in addiscenda Mathesi eundem sibi scopum praefigunt. Postquam igitur in genere docuimus, quomodo Mathesis sit tractanda, ut eam consequaris cognitionem, quam intendis; nunc porro dispiciendum est, quinam per Matheseos studium intendi possint fines, & quaenam observanda sint ei, qui finem intentum consequi voluerit. (...)

§ 93. Qui in primo cognitionis gradu acquiescit, non alium finem sibi propositum habet, quam ut veritatem ab aliis propositam intelligat; consequenter non aliud intendit, praeterquam veritatum mathematicarum nudam cognitionem. Quoniam igitur nuda veritatum mathematicorum cognitione non perficitur intellectus; nec fructus hujus particeps fieri potest, qui primum conitionis gradum unice curae cordique habet. (...)

§ 95. Non est quod mireris modum, a nobis praescriptum, ad primum cognitionis gradum adspirantibus, facere ad perficiendum intellectum; cum tamen a methodo, non a dogmatis expectanda sit perfectio intellectus. Etenim cum secundus cognitionis gradus supponat primum; nos in acquirendo cognitionis gradu primo jam ea praecepimus, quae vi methodi observanda sunt iis, quibus secundus curae cordique est; cum vulgo methodi nulla habeatur ratio, & plerumque nonnisi confusae notiones memoriae imprimantur, vi imaginationis reproducendae, quando iisdem opus est. (...)

§ 97. In primo igitur cognitionis gradu acquirendo, omnem illum facis facultatum cognoscendi usum, qui in secundo acquirendo requiritur, immo in tertio familiaris supponitur. Est adeo modus acquirendi cognitionis gradum primum, quem nos praescribimus, praeparatio ad secundum: qua facta, nihil prorsus difficultatis in secundo percipitur, cum eum usum facultatum jam facere possis, quem is requirit. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput III. De studio Arithmeticae, Geometriae, & Trigonometriae planae in specie.

 

§ 111. Arithmeticae, Geometriae, & Trigonometriae planae nostra Elementa ita conscripsimus, ut satisfaciant omnibus, quocunque fine ad Arithmeticam & Geometriam addiscendam appellunt. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput IV. De studio Algebrae, seu Analyseos mathematicae in specie.

 

§ 143. Analysis mathematica est ipsa Ars inveniendi, qua hodie utuntur Mathematici in veritatibus mathematicis investigandis. Huic adeo operam dare debent, quotquot ad cognitionis gradum tertium in Mathesi adspirant. Etsi enim demonstrationum more nostro facta resolutio etiam analytica sit, ut eodem modo ex hypothesi data inveniri possit, quo demonstrandum quod demonstratur; non tamen iis detegentis sufficit, ad quae Analysis recentiorum ducit, tota vulgo Algebrae nomine appellari solita. Etenim, per Algebras, paucis cognitis, invenire licet quae, si more veterum detegenda essent, longam rerum inventarum seriem supponerent. Quid, quod facili labore eruantur, quae Herculeo investiganda essent? Haec sane ratio est, cur inventa Mathematicorum recentiorum longissimo intervallo post se relinquant inventa Veterum, & quod uno seculo plura fuerint detecta, quam tot seculis inveniri potuerint, quibus Mathesis antea fuit exculta. Sane si Archimedes & Apollonius nostro aevo reviviscerent; in stuporem raperentur, visis inventis recentiorum, quae per algebram fuerunt in apricum producta: neque enim unquam sibi persuasissent, patere ad talia mortalibus aditum.

§ 144. Non tamen omnia per calculos algebraicos erui possunt, quae ad Geometriam spectant. Patet id ex ipsa Geometria elementari. (...)

§ 146. In Analysi nostra, primo loco occurrit Arithmetica speciosa, quam etiam literalem appellare solent. Primo loco agitur de signis tam primitivis, quam derivativis. Occurrunt nempe signa quantitatum, et operationum aeithmeticarum, quas vulgo species Arithmeticae vocant. Quantitates, cum sint numeri indeterminati, per determinatos explicabiles sunt. (...)

§ 251. Arithmetica infinitorum, invento calculo differentiali & summatorio, non amplius eum habet usum quem habere poterat, si is nondum fuisset inventus. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput V. De studio Mechanicae.

 

§ 252. Mechanica a Veteribus inventa fuit in usum machinarum. Veteres enum laudabili exemplo in theoria semper respiciebant ad usum in praxin; quippe cum in omni theoriae genere intendenda sit praxis, quemadmodum in Philosophia sedulo inculcamus. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput VI. De studio Hydrostaticae, Aerometriae, & Hydraulicae.

 

§ 261. Hydrostatica tota cognitu utilis iis, qui praxi Mechanicae student. Sufficit autem iisdem primus cognitionis gradus. Enimvero ne sensus theorematum videatur obscurus, singula exemplis numericis illustranda. (...)

§ 267. Hydraulica olim machinarum hydraulicarum & fontium salientium constructione tota absolvebatur, atque adeo non erat nisi pars Matheseos practicae. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput VII. De studio Opticae, Perspectivae, Catoptricae, & Dioptricae.

 

§ 271. In Optica strictiori sensu sumta pauca occurrunt, quae ad praxin faciunt. (...)

§ 272. Qui ad Physicam animum appellunt, iis studium Opticae maximopere commendandum. Non tamen sufficit nuda ejus cognitio historica, quam iis commendavimus, qui praxi student; sed requiritur scientifica, quae non sine accurata demonstrationum evolutione acquiritur. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput VIII. De studio Sphaericorum, & Trigonometriae Sphaericae.

 

§ 285. Trigonometria sphaerica demonstrari nequit, nisi praemittuntur principia sphaericorum, quae etiam ante applicanda sunt ad Astronomiam sphaericam, quem calculo trigonometrico in eadem uti datur. (...)

§ 287. Trigonometriae sphaericae demonstrationes non modo supponunt theoremata spharica seu Sphaericorum theoriam; sed propriam quoque theoriam habet, qu nituntur resolutiones problematum. Nimirum quemadmodum Trigonometria plana nititur theoria triangulorum planorum, seu rectilineorum, in plano descriptorum, quae traditur in Geometria elementari; ita quoque Trigonometria sphaerica pendet a theoria triangulorum sphaericorum, seu eorum quorum latera sunt arcus circulorum maximorum in superficie sphaerae descriptorum. (...)

§ 288. Qui ad tertium cognitionis gradum adspirant, iis studium Elementorum sphaericorum & Trigonometriae sphaericae commendandum. Etenim, sine principiis sphaericis & Trigonometria sphaerica, nihil reperire licuit in Astronomia sphaerica; multa etiam in Geographia ab hisce principiis pendent. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput IX. De studio Astronomiae.

 

§ 290. Studium Astronomiae multis sese nominibus commendat omnibus, qui ad solidam rerum cognitionem adspirant, sive secundum cognitionis gradum, sive tertium intendant; & inprimis si quis intellectus perficiendi gratia Mathesi operam navet, ac ad scientiam naturalem excolendam animum appellere velit; immo si studio medico sese mancipandi animum habuerit. Diversi admodum sunt fines, cur quis ad studium Astronomiae accedit. Quare nec omnibus eodem modo in eodem versandum, cum diversos fines non eodem modo consequi detur. Nostrum igitur est docere, quid unicuique faciendum, ut finem a se intentum consequatur.

§ 290. Sunt qui curiositatis tantummodo gratia Astronomiam addiscendam esse sibi persuadent; cui tanto magis satisfaciendum existimant, ne ignorent ea, quae in Calendariis extant; non decere virum eruditum arbitrati, ut Calendarium quotidie in manu habeat, non tamen intelligat, quae in eodem traduntur. Sunt alii, qui istis oculatiores longius prospiciunt, & adolescentibus ob curiositatem commendat studium astronomicum, ut eadem excitetur sciendi cupiditas & magis magisque inflammetur. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput X. De studio Geographiae, Gnomonicae, & Chronologiae.

 

§ 317. Geographia mathematica, cum qua hic nobis negotium est, multum affinitatis habet cum Astronomia, praesertim sphaerica, a cujus principiis tota pendet. (...)

§ 318. Qui nonnisi historicam Geographiae cognitionem sibi acuirre student, iis sufficiunt, quae ad Globum terrestrem, atque mappas geographicas, & tam illius, quam harum, usum cognoscendum faciunt. (...)

§ 328. Qui ad tertium cognitionis gradum adspirant, resolutionem problematis tanquam incognitam supponere debent, & vi definitionis horologii, quod describi jubetur, inquirendum, quomodo describi debeat. (...)

 

Commentatio de studio Matheseos recte instituendo.

Caput XI. De studio Pyrotechniae, Architecturae Militaris, & Architecturae Civilis.

 

§ 330. Pyrotechnia paucas continet demonstrationes, quae ex Geometria elementari principia sua mutuantur: quas negligere facile potest, qui soli praxi studet. (...)

§ 340. Atque ita tandem nos satis docuisse confidimus, quomodo studium mathematicum tractandum sit, ut omnem consequamus usum, qui ab eo expectari potest. Non loquor nisi experta, ac ingenue profiteor, me nunquam ea, quae hactenus in Philosophia conscripsi, & in posterum, si Deo ita visum fuerit, additurus sum, daturum fuisse, nisi adminiculis istis adjutus fuissem. Eadem experientia fretus docere quoue poteram, quomodo Mathesi uti possimus ad distinctas, & foecundas, in Philosophia prima, notiones venerandas; & quomodo studio mathematico perfici possit etiam appetitus; sed cum hoc a praesenti instituto alienum sit, quae hic dici poterant, alii occasioni reservamus. (...)

 

See moreover:

Si veda inoltre:

 

Leibniz, G.W. (1734), Essais de Théodicee, I, II, Foppens, Bruxelles.

Wolf, C. (1763), Elementa Arithmetices ac Geometriæ, Typographia Simoniana, Napoli.

 


Syllogismos.it

History and Hermeneutics for Mathematics Education

(Giorgio T. Bagni, Editor)


Back to Library/Biblioteca

Back to Syllogismos.it Main Page

Torna a Syllogismos.it Pagina Principale